Какво е Fermi Dirac Distribution? Диаграма на енергийната лента и приближение на Болцман

Електрони и дупки играят съществена роля при преноса на електроенергия през полупроводници . Тези частици са разположени на различно енергийно ниво в полупроводника. Движението на електроните от едно енергийно ниво към друго генерира електричество . Електронът в метала трябва да притежава енергийно ниво, което е поне по-голямо от енергията на повърхностната бариера, за да излезе на по-високо енергийно ниво.

Имаше много предложени и приети тези, обясняващи характеристиките и поведението на електроните. Но някои поведения на електроните, като независимостта на емисионния ток от температурата и т.н. ... все още остава загадка. След това пробивна статистика, Статистика на Ферми Дирак , публикувани от Енрико Ферми и Пол Дирак през 1926 г. помогна за решаването на тези пъзели.

От тогава Разпределение на Ферми Дирак се прилага, за да обясни колапса на звезда на бяло джудже, да обясни емисията на свободни електрони от метали и т.н ...

Разпределение на Ферми Дирак

Преди да влезете в Функция на Ферми Дирак за разпределение нека разгледаме енергията разпределение на електроните в различни видове полупроводници. Максималната енергия на свободния електрон може да има в материал при абсолютна температура, т.е. при 0k е известно като енергийно ниво на Ферми. Стойността на енергията на Ферми варира за различните материали. Въз основа на енергията, притежавана от електрони в полупроводник, електроните са подредени в три енергийни ленти - проводима лента, енергийно ниво на Ферми, лента на Валенси.

Докато проводимата лента съдържа възбудени електрони, валентната лента съдържа дупки. Но за какво е предназначено нивото на Ферми? Нивото на Ферми е енергийното състояние, което има вероятност ½ да бъде заето от електрон. По-просто казано, това е максималното енергийно ниво, което един електрон може да има при 0k, а вероятността да намери електрона над това ниво при абсолютна температура е 0. При абсолютна нулева температура половината от нивото на Ферми ще бъде запълнена с електрони.

В диаграмата на енергийната лента на полупроводника нивото на Ферми се намира в средата на проводимостта и валентната лента за присъщ полупроводник. За външния полупроводник нивото на Ферми се намира близо до валентната лента в Полупроводник от тип P и за N-тип полупроводник , той се намира близо до проводимата лента.

Енергийното ниво на Ферми се обозначава с Е_F, лентата на проводимостта се обозначава като Е_{° С} а валентната лента е означена като E_V.

Ниво на Ферми при типове N и P

Ниво на Ферми в полупроводници от тип N и P

Функция за разпределение на Ферми Дирак

Вероятността, че наличното енергийно състояние ‘E’ ще бъде заето от електрон при абсолютна температура T при условия на термично равновесие, се дава от функцията на Ферми-Дирак. От квантовата физика изразът на разпределение на Ферми-Дирак е

Където k е константата на Болцман в ^ИЛИДА СЕ , T е температурата в ⁰ДА СЕ и Е_F е енергийното ниво на Ферми в eV.k = 1,38X10^{-2. 3}J / K

Нивото на Ферми представлява енергийното състояние с 50% вероятност да бъде запълнено, ако не съществува забранена лента, т.е., ако E = E_F тогава f (E) = 1/2 за всяка стойност на температурата.

Разпределението на Ферми-Дирак дава само вероятността за заемане на състоянието на дадено енергийно ниво, но не предоставя информация за броя на наличните състояния на това енергийно ниво.

Диаграма на разпределението на Fermi Dirac и енергийната лента

f (E) Vs (E-E_F) парцел

Горната графика показва поведението на нивото на Ферми при различни температурни диапазони Т = 0⁰К, Т = 300⁰К, Т = 2500⁰ДА СЕ. В T = 0K , кривата има стъпкови характеристики.

В Т = 0⁰ДА СЕ , общият брой енергийни нива, заети от електрони, може да бъде известен с помощта на функцията на Ферми-Дирак.

За дадено енергийно ниво E> E_F , експоненциалният член във функцията на Ферми-Дирак става 0 и което означава, че вероятността да се намери заетото енергийно ниво на енергия по-голяма от Е_F е нула.

За дадено енергийно ниво ЕF чиято стойност означава, че всички енергийни нива с енергия са по-ниски от нивата на Ферми Е_Fще бъде заета в Т = 0⁰ДА СЕ . Това показва, че енергийното ниво на Ферми е максималната енергия, която един електрон може да има при абсолютна нулева температура.

За температура по-висока от абсолютната температура и E = E_F , след това независимо от стойността на температурата.

За температура по-висока от абсолютната температура и ЕF , тогава експоненциалната ще бъде отрицателна. f (E) започва от 0,5 и има тенденция да се увеличава към 1, докато Е намалява.

За температура по-висока от абсолютната температура и E> E_F , експоненциалното ще бъде положително и се увеличава с Е. f (E) започва от 0,5 и има тенденция да намалява към 0, когато Е се увеличава.

Ферми Дирак Разпределение Болцман Приближение

Често се използва разпределението на Максуел-Болцман Приближение на разпределението на Ферми Дирак .

Разпределението на Ферми-Дирак се дава от

От използвайки Максуел - Приближаване на Болцман, горното уравнение се свежда до

Когато разликата между енергията на носителя и нивото на Ферми е голяма в сравнение с, терминът 1 в знаменателя може да бъде пренебрегнат. За прилагането на разпределението на Ферми-Дирак, електронът трябва да следва изключителния принцип на Паули, който е важен при високо допиране. Но разпределението на Максуел-Болцман пренебрегва този принцип, поради което приближението на Максуел-Болцман е ограничено до слабо легирани случаи.

Статистика на Ферми Дирак и Бозе-Айнщайн

Статистиката на Ферми-Дирак е клонът на квантовата статистика, който описва разпределението на частиците в енергийни състояния, което съдържа идентични частици, спазващи принципа на Паули-изключване. Тъй като F-D статистиката се прилага за частици с половин цяло число спин, те се наричат ​​фермиони.

Система, състояща се от термодинамично в равновесие и идентични частици, в едночастично състояние I, средният брой фермиони се дава чрез F-D разпределение като

където е едночастичното състояние Аз , общият химичен потенциал се обозначава с, да се_Б. е константата на Болцман, докато т е абсолютната температура.

Статистиката на Бозе-Айнщайн е противоположна на F-D Statistics. Това се прилага за частици с пълно цяло завъртане или без спин, наречени бозони. Тези частици не се подчиняват на принципа за изключване на Паули, което означава, че една и съща квантова конфигурация може да бъде изпълнена с повече от един бозон.

Статистика F-D и статистика на Боре-Айнщайн се прилагат, когато квантовият ефект е важен и частиците са неразличими.

Проблем с разпределението на Ферми Дирак

В твърдо състояние вземете предвид енергийното ниво, което лежи с 0,11eV под нивото на Ферми. Намерете вероятността това ниво да не бъде заето от електрона?

Проблем с разпределението на Ферми Дирак

Това е всичко за Разпределение на Ферми Дирак . От горната информация накрая можем да заключим, че макроскопичните свойства на системата могат да бъдат изчислени с помощта на функция на Ферми-Дирак. Използва се за познаване на енергията на Ферми както при нулеви, така и при крайни температурни случаи. Нека отговорим на въпрос без никакви изчисления въз основа на нашето разбиране за разпределението на Fermi-Dirac. За енергийно ниво E, 0.25e.V под нивото на Ферми и температура над абсолютната температура, кривата на разпределение на Ферми намалява ли към 0 или се увеличава към 1?