Математиката играе решаваща роля за разбирането на поведението и работата на електрически и електронни системи . Полиноми, алгебра, вероятност, интеграции и диференциации и т.н ... формира значителна част от инструментите, използвани за решаване на системите. С нарастващата сложност на системите се изискват много сложни методи. Диференциалните уравнения се използват видно за определяне на системите за управление. Тези уравнения са лесни за решаване. Но сложността възниква при решаването на диференциални уравнения от по-висок ред. За да се решат такива сложни диференциални уравнения от по-висок ред, математическият метод, който се оказа ефективен, е Трансформация на Лаплас . Тъй като тази трансформация се използва широко, полезно е да се знае за какво всъщност са предназначени и как работят.

Какво е трансформация на Лаплас?

В математиката се прилагат трансформации за трансформиране на променлива от една форма в друга, за да се направи уравнението лесно за обработка. Лаплас трансформира почти прави същото. Те трансформират диференциално уравнение от по-висок ред в полиномиална форма, което е много по-лесно от решаването на диференциално уравнение директно.

Но има различни трансформации като трансформация на Фурие, z трансформира това, което прави трансформацията на Лаплас специална? Основното предимство на преобразуването на Лаплас е, че те са дефинирани както за стабилни, така и за нестабилни системи, докато преобразуванията на Фурие са дефинирани само за стабилни системи.

Формула за преобразуване на Лаплас

Лапласово преобразуване на функция f (t) във времева област, където t е реалното число, по-голямо или равно на нула, се дава като F (s), където има s е комплексното число в честотната област, т.е. s = σ + jω
Горното уравнение се счита за едностранно Уравнение за преобразуване на Лаплас . Когато границите се разширят до цялата реална ос, тогава Двустранна трансформация на Лаплас може да се определи като
В практически схеми като RC и RL вериги обикновено се използват първоначални условия, така че с цел анализ се прилагат едностранни преобразувания на Лаплас.
Тъй като s = σ + jω, когато σ = 0 преобразуването на Лаплас се държи като преобразуване на Фурие.

“pulldown vs pull up резистор ”

Формули за преобразуване на Лаплас

Условия за приложимост на трансформацията на Лаплас

Лапласовите трансформации се наричат интегрални трансформации, така че има необходимите условия за конвергенция на тези трансформации.
т.е. f трябва да бъде локално интегрируема за интервала [0, ∞) и в зависимост от това дали σ е положителна или отрицателна, e ^ (- σt) може да се разпада или да нараства. За двустранни преобразувания на Лаплас, а не единична стойност, интегралът се сближава в определен диапазон от стойности, известен като Регион на конвергенция.

Свойства на преобразуването на Лаплас:

Линейност

Преместване на времето

Преместване в S-домейн

Обръщане на времето

Диференциация в S-домейн

Сгъване във времето

“как да свържете esc към безчетков двигател ”

Теорема за първоначалната стойност

Теоремата за първоначалната стойност се прилага, когато при преобразуване на Лаплас степента на числителя е по-малка от степента на знаменателя Теорема за крайната стойност:

Ако всички полюси на sF (s) лежат в лявата половина на S-равнината се прилага теоремата за крайната стойност.

Обратна трансформация на Лаплас

Поради характеристиката на конвергенция преобразуването на Лаплас също има обратна трансформация. Лапласовите трансформации показват едно към едно съпоставяне от едно функционално пространство в друго. Формулата за обратното преобразуване на Лаплас е

Как да изчислим трансформацията на Лаплас?

Лапласовата трансформация прави уравненията по-лесни за обработка. Когато е дадено диференциално уравнение от по-висок ред, към него се прилага преобразуване на Лаплас, което преобразува уравнението в алгебрично уравнение, като по този начин улеснява обработката. След това изчисляваме корените чрез опростяване на това алгебрично уравнение. Сега се намира обратна трансформация на Лаплас с по-прост израз, която решава даденото диференциално уравнение от по-висок ред.

Изчисление на трансформация на Лаплас

Приложения на Laplace Transform

Анализ на електрически и електронни схеми .
Разбиване на сложни диференциални уравнения в по-прости полиномиални форми.
Преобразуването на Лаплас дава информация за стабилни, както и за преходни състояния.
В машинното обучение трансформацията на Лаплас се използва за изготвяне на прогнози и извършване на анализ при извличане на данни.
Преобразуването на Лаплас опростява изчисленията при системното моделиране.

Приложение на преобразуването на Лаплас при обработка на сигнали

Преобразуванията на Лаплас често се избират за обработка на сигнала. Заедно с преобразуването на Фурие, Лапласова трансформация се използва за изследване на сигнали в честотната област. Когато има малки честоти в сигнала в честотната област, тогава може да се очаква сигналът да бъде гладък във времевата област. Филтрирането на сигнал обикновено се извършва в честотната област, за която Лаплас действа като важен инструмент за преобразуване на сигнал от времева област в честотна област.

Приложение на преобразуването на Лаплас в системите за управление

Системите за управление обикновено са предназначени да контролират поведението на други устройства. Пример за системи за контрол може да варира от обикновен контролер за отопление на дома до индустриална система за управление, регулиращо поведението на машините.

По принцип инженерите по управление използват диференциални уравнения, за да опишат поведението на различни функционални блокове със затворен цикъл. Тук се използва преобразуване на Лаплас за решаване на тези уравнения без загуба на важна променлива информация.

Характеризиране на линейни инвариантни във времето системи, използващи преобразуване на Лаплас

За случайна ROC система, свързана със системата, функцията е дясната половина равнина. Системата е анти-случайна, ако нейният импулсен отговор h (t) = 0 за t> 0.

Ако ROC на системните функции H (s) включва оста jω, тогава L.T.I. системата се нарича стабилна система. Ако случайна система с рационални системни функции H (s) има отрицателни реални части за всичките си полюси, тогава системата е стабилна.

По този начин преобразуването на Лаплас е ключов инструмент за анализ на веригите. Можем да кажем, че стетоскопът е за лекар Лаплас, трансформациите са за инженер по контрол. За какво смятате трансформацията на Лаплас? По какъв начин те ви бяха полезни?